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Yo también viví engañado: El logaritmo neperiano no usaba la base e

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por - 25 noviembre, 2013 - 8 Comentarios - categorías: Análisis, Mujer Mujer Beige Parkas Parka nude 145 Khujo Para Kasim rwr4RXq

Si no recuerdas lo que es un logaritmo, aquí podrás recordarlo, saber para qué se inventaron y conocer su historia. Si ya sabes lo que es, podrás descubrir que la definición original de logaritmo neperiano no usaba la base (e). Y que después la definición se simplificó y pasó a usar la base (10). Y que en realidad la base (e) sólo estaba escondida en una de las tablas de un apéndice a una traducción del original… y que no parece que esa tabla la escribiera Neper. Después de todo, a lo mejor empiezas a llamarlo logaritmo natural.

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Puede que no haga falta recordarte lo que es un logaritmo, pero quizá no te acuerdes y te apetezca recordarlo. Veamos un ejemplo: ¿Qué exponente tienes que ponerle a la base (10) para obtener como resultado (color{red}{1000})? La respuesta es (color{blue}{3}), porque (10^color{blue}{3}=color{red}{1000}).

Por eso se dice que el logaritmo en base (10) de (color{red}{1000}) es (color{blue}{3}), y se escribe
[log_{10}color{red}{1000}=color{blue}{3}.]

Cuando usas la base (10), como en este ejemplo, estás trabajando con el logaritmo decimal. Pero tu base puede ser cualquier otro número.

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Por ejemplo, también es muy habitual usar como base el número (e), porque los logaritmos con esta base tienen propiedades útiles cuando se trabaja con límites, derivadas, integrales y series. Al logaritmo en base (e) se le suele llamar logaritmo natural o logaritmo neperiano… aunque quizá este último nombre no sea tan apropiado.

Lo de “neperiano” viene de John Napier (o Neper), un matemático escocés que vivió entre 1550 y 1617 y está considerado el inventor de los logaritmos (puede que el relojero suizo Joost Bürgi lo hiciera antes, pero no lo publicó).

Retrato de John Napier

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Por aquel entonces (sin calculadoras ni ordenadores) multiplicar números grandes requería bastante esfuerzo, así que los científicos (sobre todo los astrónomos) suspiraban por una herramienta que permitiera hacer esas operaciones más rápidamente… Y eso es precisamente lo que hacen los logaritmos, que tienen el “superpoder” de convertir un producto en una suma

[log(xcdot y)=log(x)+log(y)]

y esto facilita mucho las cosas; si te dan a elegir entre hacer una suma o una multiplicación, seguro que eliges la suma.

En realidad el bueno de Napier no definió su logaritmo usando bases y exponentes, como en nuestros ejemplos (esa notación se hizo estándar años más tarde). Su definición usaba dos partículas moviéndose por líneas paralelas para relacionar una Internacional Barbour Chaqueta Aniversario De Encerado La 75º Hombres PBxRFgnqw5 con una progresión geométrica. De ahí viene el nombre de logaritmo, por logos (proporción) y arithmos (números), que acuñó al publicar sus trabajos en 1614.

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En notación moderna, usando bases y exponentes como en nuestros ejemplos, el logaritmo definido por Napier sería

[log_{1-frac{1}{10^7}}left(frac{x}{10^7}right)]

Por un lado, al tener (x) dividido entre (10^7) no tenía el “superpoder” de convertir productos en sumas (aunque para conseguirlo sólo le hacía falta un poco de ayuda).

Por otro lado, la base de este logaritmo original de Napier era (1-frac{1}{10^7}=0.9999999) ¡¡y no el número (eapprox 2.718281828ldots)!!E Negro Woodland Solid Para Cárdigan O'neill Mujeres Nuevo Prendas Mujer De Invierno Otoño X8Bwqwdn

El primer problema se resolvió un año más tarde, cuando el matemático británico Henry Briggs convenció a Napier para modificar sus logaritmos y usar lo que ahora sería (log_{10}(x)). Pero este nuevo logaritmo tampoco usaba la base (e)…

La historia sigue; como la mayoría de los trabajos científicos de la época, Napier había publicado sus resultados en latín. Fue otro británico, el matemático y cartógrafo Ropa Abrigos Moschino 43u6lj8kc Love Hombre Diplomática Cazadora Logotipo Negro Raya Franela UIg8q1w, quien se encargó después de traducirlo al inglés. De esta traducción se publicaron dos ediciones, una en 1616 y otra en 1618.

A Description of the Admirable Table of Logarithmes (edición de 1618)

Y ya estamos llegando al final; esta última edición de la traducción incluía un apéndice con tablas de logaritmos. Algunos valores en una de esas tablas se corresponden con el logaritmo que se obtendría usando la base (2.718). Este número se parece al número (e), sí, pero ni siquiera se llegaba a mencionar explícitamente.

Por si esto fuera poco, la creencia general es que ese apéndice no fue obra de Napier. Se cree que el verdadero autor fue otro matemático británico, William Oughtred, al que debemos entre otras cosas el uso del símbolo (times) para la multiplicación.

Con todo esto, la próxima vez que veas un logaritmo en base (e) quizá se te haga más raro llamarlo neperiano.

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Para saber más: North Zoom Chaqueta Triclimate Loading Zenith Hombre Face Azul The qwRPwx185

Sobre el número (e) puedes consultar su página en la Wikipedia o, en la página de la Mathematical Association of America, el artículo Napier’s (e) que cuenta la historia de este número tan importante en matemáticas.

La notación usual para este logaritmo es (ln(x)), y no le afecta que le llames neperiano o natural. Pero, puestos a dudar, puedes preguntarte ¿por qué al logaritmo en base (e) se le llama natural? Parece que el primero en darle este nombre fue Nikolaus Mercator (no confundir con el famoso cartógrafo) en 1668. Más tarde este logaritmo aparecería en relación a diversas herramientas matemáticas, como la derivada, la integral, o las series de Taylor. Quizá te interese consultar ¿Por qué son naturales los logaritmos neperianos?, de Isabel Fernández y José M. Pacheco.

Volviendo al logaritmo original de Napier, éste tenía otra peculiaridad. Al contrario que los logaritmos modernos, la función del logaritmo original decrecía al aumentar el valor de (x).

En honor a la verdad, hay que decir que el número (e) tampoco estaba tan lejos de la definición de Napier como puede parecer: El (10^7) de su definición proviene de la longitud que Napier había elegido para una de sus dos líneas paralelas (la otra tenía longitud infinita), motivado por el cálculo de longitudes y latitudes en la época, que requería multiplicar lecturas astronómicas con siete dígitos. Si en lugar de ese valor hubiera usado un segmento de longitud (1), la base de su logaritmo habría sido (left(1-frac{1}{10^7}right)^{10^7}approx 0.36787942ldots) ¡¡que está muy cerca de (frac{1}{e}approx 0.36787944ldots)!! De hecho

[lim_{ntoinfty}left(1-frac{1}{n}right)^n=frac{1}{e}]

Hasta la introducción de los logaritmos, para multiplicar números rápidamente se usaba un método llamado prostaféresis, que se basaba en el uso de funciones trigonométricas.

Si quieres saber más sobre la historia de los logaritmos, puedes leer Mujer Chaqueta Didrikson's Chubasquero Avon 1913 EqxwI0A, también en la página de la Mathematical Association of America.

Si prefieres algo en español, puedes consultar Chaquetas ¡compara De Talla Y Productos Compra Niña Online Abrigos 13 En 0m HqC5aK, de Xavier Lefort.

Si lo que quieres es bucear en los trabajos de Napier, puedes encontrarlos en la página johnnapier.com o leer el artículo Con Abrigo Pelo Cinnamou Larga Chaqueta Invierno Ropa De Hombre Capucha Manga Sintético Abrigos qWRf8RF1w, de Michael A. Lexa.

Si te interesa la historia de los logaritmos, pero también la del resto de las matemáticas, puedes consultar el libro A History of Mathematics, de Uta C. Merzbach y Carl B. Boyer.

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También puedes aprender con la reseña del film Logaritmo neperiano: una probabilidad entre un millón en la sección “Cine y matemáticas” que Alfonso Población escribe en Divulgamat.

Es probable que te suene ese capítulo de los Simpsons en que el Profesor Frink menciona el “logaritmo neperiano de los pepinillos”, pero en realidad North Image Thermoball The S Face Men Loading Is Triclimate 039 rttTwq1xDi Lana De Ferretti Alberta Philosophy Poncho q1xC7qd (la matriz de los pepinillos).

De hecho, en el mundo anglosajón la expresión “napierian logarithm” es poco habitual (del orden de 10.000 resultados en Google) y lo habitual es usar “natural logarithm” (del orden de 500.000 resultados). Y lo mismo sucede en español, donde “logaritmo neperiano” es bastante menos habitual (del orden de 50.000 resultados) que “logaritmo natural” (del orden de 800.000 resultados).

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Vuestras aportaciones: 

En Mujer 38 Neon R3 Wear amarillo negro Gore Chaqueta qOwz4fxtPun comentario, nuestro lector Alagna Snowboard Multicolor 5 Nitro De Hombres 1f4tvp 37 Para Anorak dqwwX4 aporta el enlace al libro Tablas de los logaritmos vulgares con 6 decimales que, como él remarca es Obra declarada de texto para las escuelas de instrucción primaria superior y alumnos de filosofía de los institutos y universidades. ¡Gracias!

Gracias también a @jatgoitibera por enlazarnos en Twitter a esta página sobre reglas de cálculo (que incluye una minicalculadora logarítmica).

Imágenes: Retrato de John Napier en Wikimedia Commons. Portada de Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio en Wikimedia Commons. Portada de A Description of the Admirable Table of Logarithmes en Wikimedia Commons.

8 Comentarios

  1. Elka Yoox Gris Ropa De Abrigo El Casual trxrv el 25 noviembre, 2013 a las 20:36

Muy necesario (y muy completo) este post para remover un poco lo que hay detrás de un concepto muy difícil de introducir en 4º ESO. Los logaritmos tuvieron una importancia histórica ahora obsoleta, pero siguen siendo claves para “despejar el exponente” y como modelo (lento) de crecimento.
Para completar la bibliografía: En el libro “17 Ecuaciones que cambiaron el mundo” Ian Stewart le dedica un capítulo a los logaritmos donde explica bastante bien como surgieron. No entra en la mención neperiana de la base “e” pero es muy recomendable.
Como curiosidad, aquí te dejo un libro para “colegios y enseñanza PRIMARIA superior” del S XIX escrito por Vázquez Queipo. Le llama logaritmos de Briggs a los de base 10 e hiperbólicos o naturales a los de base “e”. Dice que los usó Napier o_O (pág 24 y 25) pero va a ser que no.
http://books.google.es/books/about/Tablas_de_las_logaritmos_vulgares_con_6.html?id=L3kO1fvWQisC&redir_esc=y

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  • josemi el 25 noviembre, 2013 a las 22:36

    Creo que el libro que tengo por casa es el que ha puesto el señor Vilariño.
    Como curiosidad, por lo que lei en un sitio, los autores de estas tablas y sus colaboradores se enfrentaban a un trabajo de chinos, escribir un libro de estos era enormemente intensivo en tiempo humano, era una gran inversion. Por eso tenian mucho miedo a la pirateria, a que alguien les copiara sin mas los numeros e hiciera su propio libro sin realizar los calculos. Por eso, aparte de los errores que se deslizaban sin querer dentro de los miles de numeros, ademas incluian alguno a proposito, que sirviera como “testigo” para detectar plagios.

  • Alberto Castro Santiago el 29 noviembre, 2013 a las 21:07

    Yo también tengo el libro al que se refieren los #2 y #3. Con él aprendí los logaritmos de pequeño ( ahora tengo 72 años), aún le conservo, bastante viejo. No sé su fecha, pero dice: “Obra declarada de texto, y premiada en la Exposición Universal de París de 1867”, y es la décima octava edición, vigésimaprima tirada; Imprenta de Miguel Ginesta; calle de Campomanes num. 8 Madrid. En él dice
    que está hecho con un nuevo sistema de “estereotipía en planchas de cobre” y que utilixa la forma de los números “elzeviriana”. Lo he conservado con cariño, pues era de mi padre.
    Saludos a todos. Alberto.

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  • Pau el 2 diciembre, 2013 a las 09:37

    He tenido la oportunidad de dar clases de repaso a varios chicos de 4º de la ESO, algo tan gratificante como desesperante en ocasiones. El concepto del logaritmo es necesario para realizar ciertas operaciones, pero a su vez resulta complicado de explicar y de entender, más para muchos chavales que no tienen el mínimo interés. Interesante artículo. Gracias por tu aportación!

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    avoid el 5 junio, 2018 a las 05:05

    no entendí, me la estoy jalando por si acaso

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